Question

已知函數(shù)
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在的值域；
（2）若關(guān)于的方程有解，求的取值范圍.

Answer 1

(1)值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/51/2/1po4v3.png" style="vertical-align:middle;" /> ；（2）的取值范圍為.

解析試題分析：（1）當(dāng)時(shí)，是個(gè)指數(shù)形式的函數(shù)，求其值域?yàn)榭梢允褂脫Q元法求解，令，將轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二次函數(shù)形式，，根據(jù)二次函數(shù)在給定區(qū)間上求解即可.易錯(cuò)點(diǎn)：要注意定義域的變化，其中的取值范圍為在的值域.
（2）問(wèn)有解，求得取值范圍，可使用分離參數(shù)法，，保證函數(shù)和函數(shù)有交點(diǎn)即可，既是求函數(shù)的值域，求值域的方法是先換元后配方，但要注意定義域的變化，求出函數(shù)的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/31/1/1l4lj4.png" style="vertical-align:middle;" />，即是在內(nèi)，則.
試題解析：
（1）當(dāng)時(shí)，，令，則，因而，故值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/20/d/1fgjs3.png" style="vertical-align:middle;" /> .
（2）方法一:由得；由題意可知與有交點(diǎn)即可.
令，得則得，所以即的取值范圍為.
方法二：方程有解,令，則原題意等價(jià)于在有解，
記,當(dāng)時(shí)，得，不成立；當(dāng)時(shí)，根據(jù)根的分布的.
方法三：方程有解,令，則原題意等價(jià)于在有解，即：的值域就是的取值范圍，所以.
考點(diǎn)：1.值域的求法；2.函數(shù)有解問(wèn)題；3.根的分布.