Question

已知正項數列{a_n}，{b_n}滿足：對任意正整數n，都有a_n，b_n，a_n+1成等差數列，b_n，a_n+1，b_n+1成等比數列，且a₁=10，a₂=15．
（Ⅰ）求證：數列{

b

n}是等差數列；
（Ⅱ）求數列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（Ⅲ） 設Sn=

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

，如果對任意正整數n，不等式2aSn＜2-

bn

an

恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）通過已知得到關于數列的項的兩個等式，處理方程組得到2

bn

=

bn-1

+

bn+1

，利用等差數列的定義得證
（II）利用等差數列的通項公式求出

bn

，求出b_n，a_n．
（III）先通過裂項求和的方法求出S_n，代入2aSn＜2-

bn

an

化簡得到關于n的二次不等式恒成立，構造新函數，通過對二次項系數的討論求出函數的最大值，令最大值小于0，求出a的范圍．

解答：解：（I）由已知，得2b_n=a_n+a_n+1①，a_n+1²=b_n•b_n+1②．由②得an+1=

bnbn+1

③．
將③代入①得，對任意n≥2，n∈N^*，有2bn=

bn-1bn

+

bnbn+1

．
即2

bn

=

bn-1

+

bn+1

．
∴{

bn

}是等差數列．（4分）
（Ⅱ）設數列{

bn

}的公差為d，
由a₁=10，a₂=15．經計算，得b1=

25

2

，b2=18．
∴

b1

=

5

2

2

，d=

b2

-

b1

=3

2

-

5

2

2

=

2

2

．
∴

bn

=

5

2

2

+(n-1)•

2

2

=

2

2

(n+4)．
∴bn=

(n+4)2

2

，an=

(n+3)(n+4)

2

．（9分）
（Ⅲ）由（1）得

1

an

=

2

(n+3)(n+4)

=2(

1

n+3

-

1

n+4

)．∴Sn=2[(

1

4

-

1

5

)+(

1

5

-

1

6

)++(

1

n+3

-

1

n+4

)]=2(

1

4

-

1

n+4

)．
不等式2aSn＜2-

bn

an

化為4a(

1

4

-

1

n+4

)＜2-

n+4

n+3

．
即（a-1）n²+（3a-6）n-8＜0．
設f（n）=（a-1）n²+（3a-6）n-8，則f（n）＜0對任意正整數n恒成立．
當a-1＞0，即a＞1時，不滿足條件；
當a-1=0，即a=1時，滿足條件；
當a-1＜0，即a＜1時，f（n）的對稱軸為x=-

3(a-2)

2(a-1)

＜0，f（n）關于n遞減，
因此，只需f（1）=4a-15＜0．解得a＜

15

4

，∴a＜1．
綜上，a≤1．（14分）

點評：證明數列是等差數列或等比數列可用的依據是定義或中項；解決不等式恒成立常通過分離參數，構造新函數，轉化為求新函數的最值．