Question

已知拋物線方程y²=4x，過點P（1，2）的直線與拋物線只有一個交點，這樣的直線有（　　）

• A、0條
• B、1條
• C、2條
• D、3條

Answer 1

分析：由題意可知，點P是拋物線上的點，當過P的直線的斜率不存在時，直線與拋物線有一個交點，當斜率存在時，設出直線方程，和拋物線方程聯立后由判別式等于0求解斜率的值，從而判出與拋物線只有一個交點的直線的條數．

解答：解：∵點P（1，2）在拋物線y²=4x上，當直線過點P（1，2）且斜率為0時，直線與拋物線只有一個交點；
當過點P（1，2）的直線斜率存在且不為0時，設直線方程為y-2=k（x-1），
聯立

y-2=k(x-1) y2=4x

，得ky²-4y-4k+8=0．
由△=（-4）²-4k（-4k+8）=0，解得：k=1．
∴過點P（1，2）的拋物線y²=4x的切線有一條．
綜上，過點P（1，2）與拋物線只有一個交點的直線有2條．
故選：C．

點評：本題考查了直線與圓錐曲線的關系，考查了分類討論的數學思想方法，訓練了利用判別式判斷一元二次方程解的個數，是中檔題．