Question

近日，國家經貿委發出了關于深入開展增產節約運動，大力增產市場適銷對路產品的通知，并發布了當前國內市場185種適銷工業品和42種滯銷產品的參考目錄．為此，一公司舉行某產品的促銷活動，經測算該產品的銷售量P萬件（生產量與銷售量相等）與促銷費用x萬元滿足P=3-

2

x+1

（其中0≤x≤a，a為正常數）．已知生產該產品還需投入成本（10+2P）萬元（不含促銷費用），產品的銷售價格定為(4+

20

P

)元/件．
（1）將該產品的利潤y萬元表示為促銷費用x萬元的函數；
（2）促銷費用投入多少萬元時，廠家的利潤最大．

Answer 1

分析：（1）根據產品的利潤=銷售額-產品的成本建立函數關系；
（2）利用基本不等式可求出該函數的最值，注意等號成立的條件．

解答：解：（1）由題意知，y=(4+

20

P

)P-x-(10+2P)，
將P=3-

2

x+1

代入化簡得：y=16-

4

x+1

-x （0≤x≤a）．…（6分）
（2）y=17-(

4

x+1

+x+1)≤17-2

4 x+1 ×(x+1)

=13，
當且僅當

4

x+1

=x+1，即x=1時，上式取等號．…（9分）
當a≥1時，促銷費用投入1萬元時，廠家的利潤最大；
當a＜1時，y=17-(

4

x+1

+x+1)在[0，a]上單調遞增，
所以x=a時，函數有最大值．即促銷費用投入a萬元時，廠家的利潤最大．
綜上，當a≥1時，促銷費用投入1萬元，廠家的利潤最大；
當a＜1時，促銷費用投入a萬元，廠家的利潤最大．…（12分）

點評：本題主要考查了函數模型的選擇與應用，以及基本不等式在最值問題中的應用，同時考查了計算能力，屬于中檔題．