Question

（本小題滿分12分）

   如右圖，正方形ABCD所在平面與圓O所在平面相交于CD，線段CD為圓O的弦，AE垂直于圓O所在平面，垂足E是圓O上異于C、D的點，AE=3，圓O的直徑為9。

   （1）求證：平面ABCD平在ADE；

   （2）求二面角D—BC—E的平面角的正切值；

                                

 

Answer 1

【答案】

（1）略

（2）二面角D—BC—E的平面角的正切值為

【解析】（1）證明：垂直于圓O所在平面，CD在圓O所在平面上，

   

    在正方形ABCD中，CDAD

   

    平面ADE

    平面ABCD

    平面ABCD平面ADE…………4分

   （2）解法一：平面ADE，平面ADE，

   

    CE為圓O的直徑，即CE=9…………6分

    設正方形ABCD的邊長為

    在中，

    在中，

    由，解得

    …………8分

    過點E作EFAD于點F，作FGBC交BC于點G，連結GE

    平面ABCD平面ADE

    平面ABCD

    又平面ABCD，

   

    平面EFG

    平面EFG，

    是二面角D—BC—E的平面角…………10分

    在中，

   

   

    在

   

    故二面角D—BC—E的平面角的正切值為…………12分

    解法2：平面ADE，平面ADE

   

    CE為圓O的直徑，即CE=9…………6分

    設正方形ABCD的邊長為

    在中，

    在中，

    由，解得

    …………8分

    以D為坐標原點，分中輥以ED、CD所在的直線為軸，軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，則D（0，0，0），E（-6，0，0），C（0，，0），A（-6，0，3），B（-6，，3）

    設平面ABCD的法向量為

    則

    取，則是平面ABCD的一個法向量

    設平面BCE的法向量為

    則

    取是平面ABCD的一個法向量

   

   

    …………11分

    故二面角D—BC—E的平面角的正切值為…………12分