Question

設函數f(x)=x2ex-1-

1

3

x3-x2(x∈R)．
（1）求函數y=f（x）的單調區間；
（2）求y=f（x）在[-1，2]上的最小值；
（3）當x∈（1，+∞）時，用數學歸納法證明：?n∈N*，ex-1＞

xn

n!

．

Answer 1

分析：（1）利用導數求函數的單調區間，關鍵點有二，一是求對導函數，這不難，二是解答不等式f'（x）＞0，得到x的范圍，再兼顧函數的定義域，列出當x變化時，f'（x），f（x）的變化情況表，將能很輕松的解答問題．
（2）在（1）的結論基礎上求函數在閉區間上的最值將會有一種水到渠成的感覺，這一步一般稍有基礎的學生就能很順利解答．
（3）本問根據要證明的不等式ex-1＞

xn

n!

．構造出函數gn(x)=ex-1-

xn

n!

，在利用數學歸納法證明出當n∈N^*時有gn(x)=ex-1-

xn

n!

＞0，這還要借助于導數來解答．

解答：解：（1）f'（x）=2xe^x-1+x²e^x-1-x²-2x=x（x+2）（e^x-1-1），
令f'（x）=0，可得x₁=-2，x₂=0，x₃=1．
當x變化時，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，-2）	-2	（-2，0）	0	（0，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	-	0	+	0	-	0	+
f（x）	↓	極小值	↑	極大值	↓	極小值	↑

∴函數y=f（x）的增區間為（-2，0）和（1，+∞），減區間為（-∞，-2）和（0，1）．
（2）當x∈[-1，2]時，f(-1)=

1

e2

-

2

3

＜0，
f(2)=4(e-

5

3

)＞0，f(x)_極小值=f(1)=-

1

3

＞f(-1)，f(x)_極大值=f（0）=0．
所以f（x）在[-1，2]上的最小值為

1

e2

-

2

3

．
（3）設gn(x)=ex-1-

xn

n!

，當n=1時，只需證明g₁（x）=e^x-1-x＞0，當x∈（1，+∞）時，g₁^′（x）=e^x-1-1＞0，
所以g₁（x）=e^x-1-x在（1，+∞）上是增函數，∴g₁（x）＞g₁（1）=e⁰-1=0，即e^x-1＞x；
當x∈（1，+∞）時，假設n=k時不等式成立，即gk(x)=ex-1-

xk

k!

＞0，
當n=k+1時，
因為gk+1′(x)=ex-1-

(k+1)xk

(k+1)!

=ex-1-

xk

k!

＞0，
所以g_k+1（x）在（1，+∞）上也是增函數．
所以gk+1(x)＞gk+1(1)=e0-

1

(k+1)!

=1-

1

(k+1)!

＞0，
即當n=k+1時，不等式成立．
由歸納原理，知當x∈（1，+∞）時，?n∈N*，ex-1＞

xn

n!

．

點評：本題是一道好題，利用導數研究函數的性態是高考常考，重點考查的內容，本題還明確要求利用數學歸納法證明不等式，與本例中具體函數的性質結合緊密，這也是高考考題的新穎設計，在解答本題時要仔細領會其中的深意，將對自己的解題能力水平有很大幫助和提高．