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已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長為a的正方形，側棱AA1的長為b，∠A1AB=∠A1AD=120°．
（Ⅰ）求對角線AC1的長．
（Ⅱ）求直線BD1和AC的夾角．
分析：（Ⅰ）直接根據向量的加法把所求問題分解，再平方計算出模長的平方，進而求出結論；
（Ⅱ）先把兩個向量轉化，并分別求出模長以及其數量積，再代入向量的夾角計算公式即可．
解答：解：（Ⅰ）因為
AC1
=
AA 1
+
A 1B1
+
B1C1
；
∴
AC 1
2=（
AA 1
+
A 1B1
+
B1C1
）2
=
AA 1
2+
A1B1
2+
B 1C1
2+2
AA 1
•
A 1B1
+2
AA 1
•
B 1C1
+2
A 1B1
•
B1C1

=b2+a2+a2+2abcos120°+2abcos120°+2a•acos90°
=b2+2a2-2ab．
∴AC1=
b2+2a 2-2ab
．
（Ⅱ）∵
AC
=
AB
+
BC
，
D1B
=
D1A1
+
A1B1
+
B1B
；
∴|
AC
|=
(
AB
+
BC
)   2
=
AB
2+
BC
2+2
AB
•
BC
=
a2+a2+2a 2cos90°
=
2
a；
|
D1B
|=
(
D1A
+
A1B 1
+
B1B
)    2

=
D1A
2+
A1B1 
2+
B1B
2+2
D1A
•
A1B1
+2
D1A
•
B1B
+2
A1B1
•
B1B
 

=
a2+b2+a2+2abcos60°+2a 2cos90°+2abcos120°
=
2a2+b2
．
AC
 •
D1B
=（
AB
+
BC
）•（
D1A1
+
A1B1
+
B1B
）
=
AB
•
D1A1
+
AB
•
A1B1
+
AB
•
B1B
+
BC
•
D1A1
+
BC
•
A1B1
+
BC
•
B1B
=ab；
∴cos＜
D1B
，
AC
＞=
ab
2
a•
2a2+b2
=
b
4a2+2b2
．
所以直線BD1和AC的夾角為：arccos
b
4a2+2b2
點評：本題主要考察異面直線所成的角以及兩點間的距離計算．注意在利用向量求兩直線的夾角時，要的是小于等于90度的角，避免出錯．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，已知平行六面體ABC-A1B1C1的底面為正方形，O1，O分別為上、下底面中心，且A1在底面ABCD上的射影為O．
（1）求證：平面O1DC⊥平面ABCD；
（2）若點E、F分別在棱AA1、BC上，且AE=2EA1，問F在何處時，EF⊥AD？

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1．
（I）若G為△ABC的重心，
A1M
=3
MG
，設
AB
=a，
AD
=b，
AA1
=c，用向量a、b、c表示向量
A1M
；
（II）若平行六面體ABCD-A1B1C1D1各棱長相等且AB⊥平面BCC1B1，E為CD中點，AC1∩BD1=O，求證；OE⊥平面ABC1D1．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，已知平行六面體ABC-A1B1C1的底面為正方形，O1，O分別為上、下底面中心，且A1在底面ABCD上的射影為O．
（1）求證：平面O1DC⊥平面ABCD；
（2）若點E、F分別在棱AA1、BC上，且AE=2EA1，問F在何處時，EF⊥AD？

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1．
（I）若G為△ABC的重心，數學公式，設數學公式，用向量a、b、c表示向量數學公式；
（II）若平行六面體ABCD-A1B1C1D1各棱長相等且AB⊥平面BCC1B1，E為CD中點，AC1∩BD1=O，求證；OE⊥平面ABC1D1．

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科目：高中數學 來源：2012-2013學年安徽省蕪湖一中高二（上）期中數學試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

如圖，已知平行六面體ABC-A1B1C1的底面為正方形，O1，O分別為上、下底面中心，且A1在底面ABCD上的射影為O．
（1）求證：平面O1DC⊥平面ABCD；
（2）若點E、F分別在棱AA1、BC上，且AE=2EA1，問F在何處時，EF⊥AD？

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