Question

(本小題滿分14分)
已知函數(shù)的極值點為和．
（Ⅰ）求實數(shù)，的值；
（Ⅱ）試討論方程根的個數(shù)；
（Ⅲ）設(shè)，斜率為的直線與曲線交于
兩點，試比較與的大小，并給予證明．

Answer 1

解：（Ⅰ），，……………… 1分
由的極值點為和，
∴的根為和，
∴解得                   ……………………3分
（Ⅱ）由得，
，設(shè)， .
，      ………………5分
當(dāng)變化時，與的變化情況如下表：

	－	+
	單調(diào)遞減	單調(diào)遞增

 
由此得，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為.…6分
∴，
且當(dāng)正向趨近于0時，趨近于，
當(dāng)趨近于時，趨近于. ………………7分
∴當(dāng)時，方程只有一解；
當(dāng)時，方程有兩解；
當(dāng)時，方程無解.                         ………………9分
（Ⅲ）.                                   ……………10分
證明：由（Ⅰ）得，
∴，.
要證，即證，
只需證，（因為）
即證．只需證．（*）…………………12分
設(shè)，
，
∴在單調(diào)遞增，，
∴不等式（*）成立.
∴．                                 ………………… 14分

略