Question

據民生所望，相關部門對所屬單位進行整治性核查，標準如下表：

規定初查累計權重分數為10分或9分的不需要復查并給予獎勵，10分的獎勵18萬元；9分的獎勵8萬元；初查累計權重分數為7分及其以下的停下運營并罰款1萬元；初查累計權重分數為8分的要對不合格指標進行復查，最終累計權重得分等于初查合格部分與復查部分得分的和，最終累計權重分數為10分方可繼續運營，否則停業運營并罰款1萬元.
（1）求一家單位既沒獲獎勵又沒被罰款的概率；
（2）求一家單位在這次整治性核查中所獲金額X（萬元）的分布列和數學期望（獎勵為正數，罰款為負數）.

Answer 1

（1）；（2）分布列詳見解析，.

試題分析：本題主要考查離散型隨機變量的分布列與數學期望等基礎知識，考查綜合分析問題解決問題的能力，考查運用概率知識解決簡單實際問題的能力，考查計算能力.第一問，分析題意：只有得8分的情況既沒有獎勵又沒有罰款，但是得8分時需要復查不合格指標項，所以符合題意的情況有：①甲的4個指標項合格，乙的2個指標項不合格，并對乙的2個指標項進行復查，②甲的4個指標項有3個合格，1個不合格，乙的2個指標項合格并對甲中不合格的1個指標項進行復查；第二問，通過已知條件得出，有4種情況：當時，表示既沒有獎勵又沒有罰款的情況，也就是第一問的情況；當時，表示累計權重分數為9分，也就是甲的4個指標項都合格，而乙中的2個指標項只有1個合格；當時，表示累計權重分數為10分，也就是說甲乙中的所以指標項都合格的情況；當時，表示累計權重分數為7分，也就是甲中的4個指標項有3個合格1個不合格，乙中的2個指標項1個合格1個不合格，利用分析的情況列出概率表達式，列出分布列，利用期望的計算公式求數學期望.
試題解析：記“初查階段甲類的一個指標項合格”為事件，“初查階段乙類的一個指標項合格”為事件，“復查階段一個指標項合格”為事件，則
，．
（Ⅰ）記“一家單位既沒獲獎勵又沒被罰款”為事件，則
．  4分
（Ⅱ）的可能取值為－1，0，8，18．
，
，
，
．
的分布列為

X	－1	0	8	18
P					10分

 
的數學期望（萬元）．  12分