Question

已知a∈R，設函數f(x)=

1

3

x3-

a+1

2

x2+ax．
（ I） 若a=2，求曲線y=f（x）在點（3，f（3））處的切線方程；
（ II）求函數f（x）在區間[2，3]上的最大值．

Answer 1

分析：（I）先求導數f'（x），欲求出切線方程，只須求出其斜率即可，故先利用導數求出在x=3處的導函數值，再結合導數的幾何意義即可求出切線的斜率．從而問題解決．
（II）求出函數的導函數，令導函數為0，求出導函數的根，求出函數在導函數的兩個根處的函數值及區間的兩個端點對應的函數值，從幾個函數值中選出最大、最小值即可．

解答：解：（ I）a=2時，f(x)=

1

3

x3-

3

2

x2+2x，所以f′（x）=x²-3x+2
所以f′（3）=2，而f(3)=

3

2

，所以切線方程為y-

3

2

=2(x-3)
即y=2x-

9

2

（一般式：4x-2y-9=0）
（ II）f′（x）=x²-（a+1）x+a=（x-1）（x-a）
當a＜1時，函數f（x）在區間[2，3]上單調遞增，故f（x）_max=f(3)=

9

2

-

3

2

a
當a=1時，函數f（x）在區間[2，3]上單調遞增，故f（x）_max=f(3)=

9

2

-

3

2

a
當a＞1時，
①1＜a≤2時，在[2，3]上f′（x）＞0，即f（x）在區間[2，3]上單調遞增，故f（x）_max=f(3)=

9

2

-

3

2

a
②2＜a＜3時，在[2，a）上f′（x）＜0，在（a，3]上f′（x）＞0，故f（x）_max=max{f（2），f（3）}，而f(2)=

2

3

，f(3)=

9

2

-

3

2

a，
所以當2＜a＜

23

9

時，f（3）＞f（2），故f（x）_max=f(3)=

9

2

-

3

2

a
當

23

9

≤a＜3時，f（3）＜f（2），故f（x）_max=f(2)=

2

3

③a≥3時，在[2，3]上f′（x）≤0，即f（x）在區間[2，3]上單調遞減，
故f（x）_max=f(2)=

2

3

綜上所述：f(x)max=

9 2 - 3 2 a(a≤ 23 9 ) 2 3 (a＞ 23 9 )

點評：本小題主要考查函數單調性的應用、利用導數研究曲線上某點切線方程、利用導數求閉區間上函數的最值等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于中檔題．求函數在區間上的最值問題，應該先利用導數求出導函數的根對應的函數值及區間的端點對應的函數值，選出最值即可．