Question

對非零實數x，y，z，定義運算“⊕”滿足：（1）x⊕x=1；（2）x⊕（y⊕z）=（x⊕y）•z．若f（x）=e^2x⊕e^x-e^x⊕e^2x，則下列判斷正確的是（　　）

• A、f（x）是增函數又是奇函數
• B、f（x）是減函數又是奇函數
• C、f（x）是增函數又是偶函數
• D、f（x）是減函數又是偶函數

Answer 1

考點：函數單調性的判斷與證明,函數奇偶性的判斷,指數函數綜合題

專題：新定義,函數的性質及應用

分析：理解新定義的含義，求出f（x）的解析式，再判定各選項是否正確即可．

解答：解：根據題意，∵x⊕（y⊕z）=（x⊕y）•z，
∴令x=y=z，則x⊕（x⊕x）=（x⊕x）•x，
又∵x⊕x=1，
∴x⊕1=x；
又∵x⊕（y⊕z）=（x⊕y）•z，
∴令y=z，則x⊕（y⊕y）=（x⊕y）•y，
∴（x⊕y）•y=x⊕1=x，
∴x⊕y=

x

y

；
∴f（x）=e^2x⊕e^x-e^x⊕e^2x
=

e2x

ex

-

ex

e2x

=e^x-e^-x；
∴f（x）的定義域是R，
且f（-x）=e^-x-e^x=-（e^x-e^-x）=-f（x），∴f（x）是奇函數；
又∵y=e^x是增函數，∴y=e^-x是減函數，
∴y=-e^-x是增函數，
∴f（x）=e^x-e^-x是R上的增函數；
∴f（x）是奇函數也是增函數；
故選：A．

點評：本題考查了求新定義的函數的解析式問題，解題時應理解題意，求出f（x）的解析式，再判定各選項是否正確．