Question

（08年山東卷文）（本小題滿分12分）

設函數，已知和為的極值點．

（Ⅰ）求和的值；

（Ⅱ）討論的單調性；

（Ⅲ）設，試比較與的大小．

Answer 1

【解析】（Ⅰ）因為

，

又和為的極值點，所以，

因此

解方程組得，．

（Ⅱ）因為，，

所以，

令，解得，，．

因為當時，；

當時，．

所以在和上是單調遞增的；

在和上是單調遞減的．

（Ⅲ）由（Ⅰ）可知，

故，

令，

則．

令，得，

因為時，，

所以在上單調遞減．

故時，；

因為時，，

所以在上單調遞增．

故時，．

所以對任意，恒有，又，

因此，

故對任意，恒有．