Question

過拋物線y²=4x的焦點作直線與其交于M、N兩點，作平行四邊形MONP，則P點的軌跡方程為（　�。�

• A、y²=4（x-2）
• B、y²=-4（x+2）
• C、y²=4（x+2）
• D、y²=x-1

Answer 1

分析：先求出焦點的坐標，用待定系數法將MN所在的直線方程設出來，得到其參數方程，與拋物線方程聯立得到M，N的橫縱坐標所滿足的參數方程x₁+x₂=

2k2+4

k2

，y₁+y₂=

4

k

，再利用平行四邊形對角線交于中點的性質，求出點P（x，y），的參數方程，消參數后即可得到點P的橫縱坐標所滿足的方程，

解答：解：由已知拋物線y²=4x，故焦點坐標為（1，0）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
∵平行四邊形MONP，
∴可設線段MN與線段OP的交點為H（x₀，y₀），P（x，y），
由平行四邊形的性質，H是OP的中點，
∴x₀=

1

2

x，y₀=

1

2

y     ①
當直線MN的方程為x=1時，中點就是F，此時P點的坐標為（2，0）
當直線的斜率存在時，設斜率為k，則直線MN的方程可設為y=k（x-1）
由

y2=4x y=k(x-1)

得k²x²-2k²x+k²=4x，整理得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
∵M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
∴x₁+x₂=

2k2+4

k2

，
故y₁+y₂=k（x₁-1）+k（x₂-1）=k（x₁+x₂）-2k=k×

2k2+4

k2

）-2k=

4

k

M，N的中點為H，故有x₀=

k2+2

k2

，y₀=

2

k

又由①，可得x=

2k2+4

k2

=2+

4

k2

，y=

4

k

兩式聯立消去k得x=2+

y2

4

，整理得y²=4（x-2），驗證知（2，0）在y²=4（x-2）上，
故應選A．

點評：本題是解析幾何中一道較繁瑣的題，考查直線與圓錐曲線的位置關系，參數方程的相關知識，設參，消參的相關技巧，綜合性較強．對符號運算能力要求較高．