Question

（2013•湖南）設S_n為數列{a_n}的前n項和，已知a₁≠0，2a_n-a₁=S₁•S_n，n∈N^*
（Ⅰ）求a₁，a₂，并求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）求數列{na_n}的前n項和．

Answer 1

分析：（Ⅰ）令n=1和2，代入所給的式子求得a₁和a₂，當n≥2時再令n=n-1得到2a_n-1-1=S_n-1，兩個式子相減得a_n=2a_n-1，判斷出此數列為等比數列，進而求出通項公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）求出na_n=n•2^n-1，再由錯位相減法求出此數列的前n項和．

解答：解：（Ⅰ）令n=1，得2a₁-a₁=a12，即a1=a12，
∵a₁≠0，∴a₁=1，
令n=2，得2a₂-1=1+a₂，解得a₂=2，
當n≥2時，由2a_n-1=S_n得，2a_n-1-1=S_n-1，
兩式相減得2a_n-2a_n-1=a_n，即a_n=2a_n-1，
∴數列{a_n}是首項為1，公比為2的等比數列，
∴a_n=2^n-1，即數列{a_n}的通項公式a_n=2^n-1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，na_n=n•2^n-1，設數列{na_n}的前n項和為T_n，
則T_n=1+2×2+3×2²+…+n×2^n-1，①
2T_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ，②
①-②得，-T_n=1+2+2²+…+2^n-1-n•2ⁿ
=2ⁿ-1-n•2ⁿ，
∴T_n=1+（n-1）2ⁿ．

點評：本題考查了數列a_n與S_n之間的轉化，以及由錯位相減法求出數列的前n項和的應用．