Question

設為數列的前項和，對任意的，都有為常數，且．

（1）求證：數列是等比數列；

（2）設數列的公比，數列滿足，求數列的通項公式；

（3）在滿足（2）的條件下，求數列的前項和．

 

Answer 1

【答案】

（1）證明：當時，，解得．…………………1分

當時，．即．………2分

又為常數，且，∴．           ………………………3分

∴數列是首項為1，公比為的等比數列．      　……………………4分

（2）解：由（1）得，，．    ………………………5分

∵，∴，即． ………7分

∴是首項為，公差為1的等差數列． ………………………………………8分

∴，即（）． ………………………9分

（3）解：由（2）知，則．

所以，                      ………………10分

即，      ① ……11分

則，    ②………12分

②－①得，       ……………………13分

故．   ………………14分

【解析】本題主要考查等比數列的性質．當出現等比數列和等差數列相乘的形式時，求和可用錯位相減法．

（1）當n≥2時，根據an=Sn-Sn-1，進而得出an和an-1的關系整理得a_na_n-1 =m( 1+m) ，因m為常數，進而可證明當n≥2時數列{an}是等比數列．，當n=1時等式也成立，原式得證．

（2）根據（1）可得f（m）的解析式．再根據bn=f（bn-1）整理可得（1 bn） -（1 b_n-1） =1進而推知數列{bn}為等差數列，首項為2a1，公差為1，再根據等差數列的通項公式可得答案．

（3）把（2）中的bn代入{2ⁿ⁺¹ b_n }，再通過錯位相減法求得Tn