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精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
以下命題：
①若|
a
-
b
|=|
a
|-|
b
|，則
a
∥
b
；
②
a
=（-1，1）在
b
=（3，4）方向上的投影為
1
5
；
③若△ABC中，a=5，b=8，c=7，
BC
-
CA
=20；
④若非向量
a
、
b
滿足|
a
-
b
|=|
b
|，則|2
b
|＞|
a
+2
b
|．
其中所有真命題的標號是
①②
①②
．
分析：①已知|
a
-
b
|=|
a
|-|
b
|，兩邊平方，可以對其進行判斷；
②
a
=（-1，1）在
b
=（3，4），求出兩個向量的余弦值，
a
=（-1，1）在
b
=（3，4）方向上的投影為|
b
|cos＜
a
，
b
＞；
③△ABC中，a=5，b=8，c=7，
BC
-
CA
是一個向量，不可能是一個值；
④非向量
a
、
b
滿足|
a
-
b
|=|
b
|，兩邊平方可得|
a
|=2|
b
|cos＜
a
，
b
＞，利用等價的方法進行證明；
解答：解：①∵|
a
-
b
|=|
a
|-|
b
|，兩邊平方可得|
a
|2+|
b
|2-2
a
•
b
=|
a
|2+|
b
|2-2|
a
||
b
|，
可得
a
•
b
=|
a
||
b
|，可得cos＜
a
，
b
＞=0，可得
a
，
b
平行，可得
a
∥
b
，故①正確；
②因為
a
=（-1，1），
b
=（3，4）可得cos＜
a
，
b
＞=
a
•
b
|
a
|•|
b
|
=
-3+4
2
×5
=
2
10
，
∴
a
=（-1，1）在
b
=（3，4）方向上的投影為|
a
|cos＜
a
，
b
＞=
2
×
2
10
=
1
5
，故②正確；
③△ABC中，a=5，b=8，c=7，
BC
-
CA
，兩個向量相減結果應該是一個向量，不可能為一個數，
故③錯誤；
④非向量
a
、
b
滿足|
a
-
b
|=|
b
|，|
a
|2+|
b
|2-2
a
•
b
=|
b
|2，可得，|
a
|2=2
a
•
b
，
要證明：|2
b
|＞|
a
+2
b
|?4|
b
|2＞|
a
|2+4|
b
|2+4
a
•
b
?|
a
|2+2|
a
|2＜0，
因為向量
a
、
b
是非零的，|
a
|＞0，可得，|
a
|2+2|
a
|2＞0，故④錯誤，
綜上①②正確；
故答案為：①②；
點評：本題考查命題的真假判斷與應用，著重考查向量的數量積與向量的夾角與模，考查綜合分析與解決問題的能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
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以下四個判斷，正確的是（　　）

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設
a
，
b
，
c
 是空間任意的非零向量，且相互不共線，則以下命題中：
①（
a
?
b
）?
c
-（
c
?
a
 ）?
b
=0；②|
a
|+|
b
|＞|
a
-
b
|；③若存在唯一實數組λ，μ，γ 使γ
c
=λ
a
+μ
b
，則
a
，
b
，
c
共面；④|
a
-
b
|?|
c
|=|
a
c
-
b
c
|．真命題的個數是（　　）
A、0B、1C、2D、3

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設是兩個不同的平面，是一條直線，以下命題正確的是

A．若，則             B．若，則

C．若，則              D．若，則

 

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