Question

真命題：“經過雙曲線

x2

4

-

y2

5

=1的左焦點作直線l交雙曲線于M、N兩點，當|MN|=5，則符合條件的直線有3條”將此命題推廣到一般的雙曲線，并且使已知命題是推廣命題的特例，則推廣的真命題可以是

經過雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（0＜a＜b）的左焦點作直線l交雙曲線于M、N兩點，當|MN|=

2b2

a

時，則符合條件的直線有3條

．

Answer 1

分析：注意到|MN|=5正好是雙曲線的通徑

2b2

a

，從而類比得出結論．再根據直線與雙曲線相交的情形，分兩種情況討論：①AB只與雙曲線右支相交，②AB與雙曲線的兩支都相交，分析其弦長的最小值，可得符合條件的直線的數目，綜合可得答案．

解答：解：推廣的真命題可以是：經過雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（0＜a＜b）的左焦點作直線l交雙曲線于M、N兩點，當|MN|=

2b2

a

時，則符合條件的直線有3條．證明如下：
若AB只與雙曲線右支相交時，|AB|的最小距離是通徑，長度為

2b2

a

，
此時只有一條直線符合條件；
若AB與雙曲線的兩支都相交時，此時|AB|的最小距離是實軸兩頂點的距離，長度為2a，距離無最大值，
結合雙曲線的對稱性，可得此時有2條直線符合條件；
綜合可得，有3條直線符合條件．
故答案為：經過雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（0＜a＜b）的左焦點作直線l交雙曲線于M、N兩點，當|MN|=

2b2

a

時，則符合條件的直線有3條．

點評：本題考查進行簡單的合情推理、直線與雙曲線的關系，解題時可以結合雙曲線的幾何性質，分析直線與雙曲線的相交的情況，分析其弦長最小值，從而求解；要避免由弦長公式進行計算．