Question

已知拋物線y²=4ax（a＞0且a為常數），F為其焦點．
（1）寫出焦點F的坐標；
（2）過點F的直線與拋物線相交于P、Q兩點，且

PF

=2

FQ

，求直線PQ的斜率；
（3）若線段AC、BD是過拋物線焦點F的兩條動弦，且滿足AC⊥BD，如圖所示．求四邊形ABCD面積的最小值S（a）．

Answer 1

分析：（1）根據拋物線的性質可知p=2a，進而焦點坐標為F（a，0）．
（2）假設點為P（x₀，y₀）、Q（x₁，y₁），然后表示出

PF

、

FQ

，再根據

PF

=2

FQ

可以得到（a-x₀，-y₀）=2（x₁-a，y₁），再由y₁²=4ax₁，y₀²=4ax₀，可確定

y 2 0

4

=4a•

3a-x0

2

，進而可得x₀=2a，y₀²=4ax₀=8a²，即y0=±2

2

a，然后表示出直線PQ的斜率代入即可得到答案．
（3）設直線AC的斜率為k_AC=k（k≠0），可得到AC的方程然后與拋物線聯立得到兩根之和、兩根之積，根據弦長公式表示出|AC|并化簡，然后根據直線AC的斜率可得到直線BD的斜率求出|BD|的弦長，再表示出S_{四邊形ABCD}運用基本不等式可確定答案．

解答：解：（1）∵拋物線方程為y²=4ax（a＞0），∴焦點為F（a，0）．
（2）設滿足題意的點為P（x₀，y₀）、Q（x₁，y₁）．
∵

PF

=2

FQ

，
∴(a-x0，-y0)=2(x1-a，y1)，即

x1= 3a-x0 2 y1=- y0 2

．
又y₁²=4ax₁，y₀²=4ax₀，
∴

y 2 0

4

=4a•

3a-x0

2

，進而可得x0=2a，

y

2 0

=4ax0=8a2，即y0=±2

2

a．
∴kPQ=kPF=

y0-0

x0-a

=±2

2

．
（3）由題可知，直線AC既不平行x軸，也不平行y軸（否則AC，BD與拋物線不會有四個交點），
于是，設直線AC的斜率為k_AC=k（k≠0），則AC的方程為：y=k（x-a）．
聯立方程組

y2=4ax y=k(x-a)

，化簡得k²x²-2a（k²+2）x+k²a²=0（設點A（x₁，y₁）、C（x₂，y₂）），
則x₁、x₂是此方程的兩個根．
∴

x1+x2= 2a(k2+2) k2 x1x2=a2

．
∴弦長|AC|=|x1-x2|

1+k2

=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

( 2a(k2+2) k2 )2-4a2

=4a

1+k2

k2

．
又AC⊥BD，∴kBD=-

1

k

．
于是，弦長|BD|=4a

1+(- 1 k )2

(- 1 k )2

=4a(1+k2)．
∴S四邊形ABCD=

1

2

|AC|•|BD|=8a2

(1+k2)2

k2

=8a2(k2+

1

k2

+2)≥32a2（當且僅當k2=

1

k2

，即k=±1時，等號成立）．
∴S（a）=32a²．

點評：本題主要考查拋物線和直線的綜合問題．直線和圓錐曲線的綜合題一般作為高考的壓軸題出現，要想解答正確，就必須對基礎知識熟練掌握．