Question

設f（k）是滿足不等式log₂x+log₂（3•2^k-1-x）≥2K-1，（k∈N）的自然數x的個數，
（1）求f（x）的解析式；
（2）記S_n=f（1）+f（2）+…+f（n），求S_n解析式；
（3）記P_n=n-1，設T_n=

log2(Sn-Pn)

log2(Sn+1-Pn+1)-10.5

，對任意n∈N均有T_n＜m成立，求出整數m的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用對數的運算性質及對數的單調性可把原不等式可轉化為：

x＞0 3•2k-1-x＞0 x(3•2k-1-x)≥22k-1

，解不等式
可得x的范圍，進而可求f（k）
（2）利用分組求和及等差數列、等比數列的求和公式可求
（3）由Tn=

log22n

log22n+1-10.5

=

n

n-9.5

=1+

9.5

n-9.5

，結合對應函數的單調性可求

解答：解：（1）原不等式可轉化為：

x＞0 3•2k-1-x＞0 x(3•2k-1-x)≥22k-1

即

x＞0 x＜3•2k-1 x2-3•2k-1x+2k-1•2k≤0

∴2^k-1≤x≤2^k（4分）
∴f（k）=2^k-（2^k-1-1）=2^k-1+1．（6′）
（2）∵S_n=f（1）+f（2）+…+f（n）
=2⁰+2¹+…+2^n-1+n
=2ⁿ+n-1．（10′）
（3）∵Tn=

log22n

log22n+1-10.5

=

n

n-9.5

=1+

9.5

n-9.5

，（12′）
當1≤n≤9時，T_n單調遞減，此時(Tn)max=T1=-

2

17

，（14′）
當n≥10時，T_n單調遞減，此時（T_n）_max=T₁₀=20，
∴（T_n）_max=20，m_min=21．（16′）

點評：本題主要考查了對數的運算的運算性質的應用，對數不等式的解法，等差數列與等比數列的求和公式的應用及理由數列的單調性求解數列的最大（小）項，屬于數列知識的綜合應用