Question

已知函數f(x)＝在x＝0，x＝處存在極值。

（Ⅰ）求實數a,b的值；

（Ⅱ）函數y＝f(x)的圖象上存在兩點A,B使得△AOB是以坐標原點O為直角頂點的直角三角形，且斜邊AB的中點在y軸上，求實數c的取值范圍；

(Ⅲ）當c＝e時，討論關于x的方程f(x)＝kx(k∈R)的實根個數。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）實數c的取值范圍是(0,＋∞) ；(Ⅲ）當k＞或k＜0時，方程f(x)＝kx有一個實根；當k＝或k＝0時，方程f(x)＝kx有兩個實根；當0＜k＜時，方程f(x)＝kx有三個實根。

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由于兩個極值點都小于零，故對在求導，，即當時，，依題意，由可求實數的值；（Ⅱ）由（Ⅰ）可求得，依題意A，B的橫坐標互為相反數，不妨設，分與討論，利用是直角，，即可求得實數的取值范圍；(Ⅲ）由方程，知，可知一定是方程的根，，方程等價于，構造函數，分且與兩類討論，即可確定的實根的個數．

試題解析：（Ⅰ）當x＜1時，.

因為函數f(x)在x＝0,x＝處存在極值，所以

解得a＝1,b＝0.                                               (3分)

（Ⅱ）由（1）得

根據條件知A,B的橫坐標互為相反數，不妨設A(－t,t³＋t²), B(t,f(t)(t＞0).   (4分)

若t＜1，則f(t)＝－t³＋t²,

由∠AOB是直角得·＝0，即－t²＋(t³＋t²)(－t³＋t²)＝0，

即t⁴－t²＋1＝0.此時無解；                                     (5分)

若t≥1，則f(t)＝c(e^t―1―1).由于AB的中點在y軸上，且∠AOB是直角，

所以B點不可能在x軸上，即t≠1.

同理·＝0，  即－t²＋( t³＋t²)·c(e^t―1―1)＝0，

整理后得  .                                 (7分)

因為函數y＝(t＋1)(e^t-1―1)在t＞1上的值域是(0, ＋∞),

所以實數c的取值范圍是(0, ＋∞).                          (8分)

（3）由方程f(x)＝kx,

知

因為0一定是方程的根，                                  (9分)

所以僅就x≠0時進行研究：

方程等價于

構造函數                        (10分)

對于x＜1且x≠0部分，函數g(x)＝－x²＋x的圖象是開口向下的拋物線的一部分，當x＝時取得最大值，其值域是(－∞, 0)∪(0, ]；         (11分)

對于x≥1部分，函數，由，

知函數g(x)在(1, ＋∞)上單調遞增,則g(x)［0，+)          (13分)

所以, ①當k＞或k＜0時，方程f(x)＝kx有一個實根；

②當k＝或k＝0時，方程f(x)＝kx有兩個實根；

③當0＜k＜時，方程f(x)＝kx有三個實根。             (14分)

考點：利用導數研究函數的極值；根的存在性及根的個數判斷．