Question

已知f（x）=

x ，x≥0 e-x-ex，x＜0

若函數y=f（x）-k（x+1）有三個零點，則實數k的取值范圍是（　　）

• A．（-

  1

  2

  ，0）
• B．（0，

  1

  2

  ）
• C．（

  1

  2

  ，1）
• D．（1，+∞）

Answer 1

分析：由y=f（x）-k（x+1）=0得f（x）=k（x+1），設y=f（x），y=k（x+1），然后作出圖象，利用數形結合的思想確定實數k的取值范圍．

解答：解：y=f（x）-k（x+1）=0得f（x）=k（x+1），
設y=f（x），y=k（x+1），在同一坐標系中作出函數y=f（x）和y=k（x+1）的圖象如圖：
因為當x＜0時，函數f（x）=e^-x-e^x單調遞減，且f（x）＞0．
由圖象可以當直線y=k（x+1）與f(x)=

x

相切時，函數y=f（x）-k（x+1）
有兩個零點．下面求切線的斜率．由

y=k(x+1) y= x

得k²x²+（2k²-1）x+k²=0，
當k=0時，不成立．
由△=0得△=（2k²-1）²-4k²?k²=1-4k²=0，解得k2=

1

4

，
所以k=

1

2

或k=-

1

2

（不合題意舍去）．
所以要使函數y=f（x）-k（x+1）有三個零點，
則0＜k＜

1

2

．
故選B．

點評：本題綜合考查了函數的零點問題，利用數形結合的思想是解決本題的關鍵．綜合性較強，難度較大．