Question

拋物線y²=8x的焦點為F，A（4，-2）為一定點，在拋物線上找一點M，當|MA|+|MF|為最小時，則M點的坐標

 

，當||MA|-|MF||為最大時，則M點的坐標

 

．

Answer 1

分析：根據拋物線定義可知|MF|=x_M+2判斷出當直線AM垂直拋物線準線時|MA|+|MF|為最小，進而把y=-2代入拋物線方程求得M的縱坐標；當A，M，F三點共線，且M在x軸下方時||MA|-|MF||=|AF|最大．根據A，F坐標求得直線方程與拋物線方程聯立求得x軸下方的交點．

解答：解：根據拋物線定義可知|MF|=x_M+2
∴當直線AM垂直拋物線準線時，|MA|+|MF|為最小，此時x_M=

1

2

，則y_M=-2
當A，M，F三點共線，且M在x軸下方時||MA|-|MF||=|AF|最大．
此時直線AF方程為y=-（x-2）與拋物線方程聯立求得x_M=6+4

2

，y_M=-（6+4

2

-2）=-4

2

-4
故答案為（

1

2

，-2），（6+4

2

，-4

2

-4）

點評：本題主要考查了拋物線的應用．當涉及拋物線上的點與焦點的問題時，常需要借助拋物線的定義來解決．