Question

（15分）已知函數（不同時為零的常數），導函數為.
（1）當時，若存在使得成立，求的取值范圍；
（2）求證：函數在內至少有一個零點；
（3）若函數為奇函數，且在處的切線垂直于直線，關于的方程在上有且只有一個實數根，求實數的取值范圍.

Answer 1

（1）；（2）函數在內至少有一個零點；（3）或．

第一問中，利用當時，若存在使得成立，即說明了
當時，==，其對稱軸為直線，
當 ，解得，當，無解，
所以的的取值范圍為、
第二問中，法二：，，．
由于不同時為零，所以，故結論成立．
第三問中，因為=為奇函數，所以, 所以，
又在處的切線垂直于直線，所以，即
結合函數單調性得到結論。
解：（1）當時，==，其對稱軸為直線，
當 ，解得，當，無解，
所以的的取值范圍為．………………………………………………4分
（2）因為，
法一：當時，適合題意………………………………………6分
當時，，令，則，
令，因為，
當時，，所以在內有零點．
當時，，所以在（內有零點．
因此，當時，在內至少有一個零點．
綜上可知，函數在內至少有一個零點．……………………10分
法二：，，．
由于不同時為零，所以，故結論成立．
(3)因為=為奇函數，所以, 所以，
又在處的切線垂直于直線，所以，即．
因為　所以在上是増函數，在上是減函數，由解得，如圖所示，
當時，，即，解得；
當時， ，解得；
當時，顯然不成立；
當時，，即，解得；
當時，，故．
所以所求的取值范圍是或．