Question

已知二次函數f(x)＝a＋bx＋c

(1)若a＞b＞c，且f(1)＝0，證明f(x)的圖象與x軸有2個交點；

(2)在(1)的條件下，是否存在m∈R，使當f(m)＝－a成立時，f(m＋3)為正數，若存在，證明你的結論；若不存在，說明理由．

(3)若對、∈R．且＜，f()≠f()，方程f(x)＝[f()＋f()]有2個不等實根，證明必須有一實根屬于(、)．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵f(1)＝a＋b＋c＝0且a＞b＞c，∴a＞0且c＜0，∴Δ＝－4ac＞0，∴f(x)的圖象與x軸有兩個交點． 　　(2)f(1)＝0，∴1為f(x)＝0的根，由韋達定理知另一根為，∵a＞0且c＜0，∴＜0＜1，又a＞b＞c，b＝－a－c，又a＞0，∴1＞－1－，∴－2＜假設存在m∈R使f(m)＝－a，則a(m－)(m－1)＝－a＜0，∴＜m＜1，∴m＋3＞＋3＞－2＋3＝1．∵f(x)在(1，＋∞)單調遞增，∴f(m＋3)＞f(1)＝0，即存在這樣的m使f(m＋3)＞0 　　(3)令g(x)＝f(x)－，則g(x)是二次函數．∵g()·g()＝[f()－]·≤0　　∵f()≠f()， 　　∴g()·g()＜0，∴g(x)＝0的根必有一個屬于(，)．