Question

已知函數f（x）=ax-1-lnx（a∈R）．
（1）若函數f（x）在x=1處取得極值，對?x∈（0，+∞），f（x）≥bx-2恒成立，求實數b的取值范圍；
（2）當0＜x＜y＜e²且x≠e時，試比較與的大小．

Answer 1

解：（1）函數f（x）的定義域為（0，+∞）．f′（x）=a-．
∵函數在x=處取得極值，∴a=1，
f（x）=x-1-lnx，
∵f（x）≥bx-2，移項（1-b）x＞lnx-1，將b分離得出，b＜1-，令g（x）=1-，
則令g′（x）=，可知在（0，e²）上g′（x）＜0，在（e²，+∞）上g′（x）＞0，
∴g（x）在x=e²處取得極小值，也就是最小值．此時g（e²）=1-，
所以b≤1-．
（1）由（1）g（x）=1-在（0，e²）上為減函數．0＜x＜y＜e²且x≠e時，
有g（x）＞g（y），1-＞1-，整理得＞①
當0＜x＜e時，1-lnx＞0，由①得，＞
當e＜x＜e²時，1-lnx＜0，由①得＜．
分析：（1）函數f（x）的導數f′（x）=a-．通過在x=1處取得極值，得出a=1；將f（x）≥bx-2恒成立，即（1-b）x＞lnx-1，將b分離得出，b＜1-，令g（x）=1-，只需b小于等于g（x）的最小值即可．利用導數求最小值．
（2）由（1）g（x）=1-在（0，e²）上為減函數，g（x）＞g（y），1-＞1-，整理得＞，考慮將1-lnx除到右邊，為此分1-lnx正負分類求解．
點評：本題考查函數與導數，利用導數研究函數的單調性，極值，并利用單調性比較大小，考查了分類討論、推理計算能力．