Question

（2012•寶山區一模）已知函數f（x）=

-3x+a

3x+1+b

．
（1）當a=b=1時，求滿足f（x）≥3^x的x的取值范圍；
（2）若y=f（x）的定義域為R，又是奇函數，求y=f（x）的解析式，判斷其在R上的單調性并加以證明．

Answer 1

分析：（1）由題意可得

1-3x

3x+1+1

≥3^x從中解得-1≤3^x≤

1

3

，解此指數不等式即可求得x的取值范圍；
（2）由f（0）=0，可求得a，f（1）+f（-1）=0可求得b，從而可得y=f（x）的解析式；利用單調性的定義，對任意x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，再作差f（x₁）-f（x₂），最后判斷符號即可．

解答：解：（1）由題意，

1-3x

3x+1+1

≥3^x，化簡得3•（3^x）²+2×3^x-1≤0…（2分）
解得-1≤3^x≤

1

3

…（4分）
所以x≤-1…（（6分），如果是其它答案得5分）
（2）已知定義域為R，所以f（0）=

-1+a

3+b

=0⇒a=1，…（7分）
又f（1）+f（-1）=0⇒b=3，…（8分）
所以f（x）=

1-3x

3x+1+3

；…（9分）
f（x）=

1-3x

3x+1+3

=

1

3

（

1-3x

3x+1

）=

1

3

（-1+

2

3x+1

）
對任意x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，
可知f（x₁）-f（x₂）=

1

3

（

2

3x1+1

-

2

3x2+1

）=-

2

3

（

3x1-3x2

(3x1+1)(3x2+1)

）…（12分）
因為x₁＜x₂，所以3x2-3x1＞0，所以f（x₁）＞f（x₂），
因此f（x）在R上遞減．…（14分）

點評：本題考查指數不等式的解法，考查函數奇偶性的應用，考查函數單調性的判斷與證明，屬于綜合題，難度大，運算量大，屬于難題．