Question

（2012•包頭一模）現有A，B兩個項目，投資A項目100萬元，一年后獲得的利潤為隨機變量X₁（萬元），根據市場分析，X₁的分布列為：

X1	12	11.8	11.7
P	1 6	1 2	1 3

投資B項目100萬元，一年后獲得的利潤X₂（萬元）與B項目產品價格的調整（價格上調或下調）有關，已知B項目產品價格在一年內進行2次獨立的調整，且在每次調整中價格下調的概率都是p（0≤p＜1）．
經專家測算評估B項目產品價格的下調與一年后獲得相應利潤的關系如下表：

B項目產品價格一年內下調次數X（次）	0	1	2
投資100萬元一年后獲得的利潤X2（萬元）	13	12.5	2

（Ⅰ）求X₁的方差D（X₁）；
（Ⅱ）求X₂的分布列；
（Ⅲ）若p=0.3，根據投資獲得利潤的差異，你愿意選擇投資哪個項目？
（參考數據：1.2²×0.49+0.7²×0.42+9.8²×0.09=9.555）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據X₁的概率分布列，利用期望、方差公式，即可得到結論；
（Ⅱ）確定X的取值，求出相應的概率，可得X₂的概率分布列；
（Ⅲ）當p=0.3時，期望相同，利用方差的大小比較，即可得到結論．

解答：解：（Ⅰ）X₁的概率分布列為

X1	12	11.8	11.7
P	1 6	1 2	1 3

則E(X1)=12×

1

6

+11.8×

1

2

+11.7×

1

3

=11.8.D(X1)=(12-11.8)2×

1

6

+(11.8-11.8)2×

1

2

+(11.7-11.8)2×

1

3

=0.01．---------（4分）
（Ⅱ）設A_i表示事件”第i次調整，價格下調”（i=1，2），則P（X=0）=P(

.

A

1)P(

.

A

2)=(1-p)2；P（X=1）=P(

.

A

1)P(A2)+P(A1)P(

.

A

2)=2p(1-p)；P（X=2）=P(A1)P(A2)=p2
故X₂的概率分布列為

X2	13	12.5	2
P	（1-p）2	2p（1-p）	p2

---------（8分）
（Ⅲ）當p=0.3時．E（X₂）=E（X₁）=11.8，
由于D（X₁）=0.01．D（X₂）=9.555．
所以D（X₂）＞D（X₁），當投資兩個項目的利潤均值相同的情況下，投資B項目的風險高于A項目．
從獲得穩定收益考慮，當p=0.3時應投資A項目．---------（12分）

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列、期望與方差，考查利用概率知識解決實際問題，正確求期望與方差是關鍵．