Question

常數e=

lim

n→∞

(1+

1

n

)n=2.718281828459…，定義函數f(x)=

ex-e-x

2

為雙曲正弦函數，記為sinhx，定義函數g(x)=

ex+e-x

2

為雙曲余弦函數，記為coshx．則以下三個命題正確的是

（2）

．（只需填正確命題序號）
（1）cosh（x+y）=coshx•coshy-sinhx•sinhy；
（2）sinh（x+y）=sinhx•coshy+coshx•sinhy；
（3）（sinhx）²-（coshx）²=1．

Answer 1

分析：（1）根據題中的新定義分別表示出cosh（x+y），coshx，coshy，sinhx，sinhy，利用同底數冪的乘法法則及多項式的乘法法則計算coshx•coshy-sinhx•sinhy，即可作出判斷；
（2）根據題中的新定義分別表示出sinh（x+y），coshx，coshy，sinhx，sinhy，利用同底數冪的乘法法則及多項式的乘法法則計算sinhx•coshy+coshx•sinhy，即可作出判斷；
（3）根據題中的新定義分別表示出sinhx，coshx，利用同底數冪的乘法法則及多項式的乘法法則計算（sinhx）²-（coshx）²，即可作出判斷．

解答：解：（1）cosh（x+y）=

ex+y+e-(x+y)

2

，
coshx•coshy-sinhx•sinhy
=

ex+e-x

2

•

ey+e-y

2

-

ex-e-x

2

•

ey-e-y

2

=

ex-y+ey-x

2

，
∴cosh（x+y）≠coshx•coshy-sinhx•sinhy，
故本選項錯誤；
（2）sinh（x+y）=

ex+y-e-(x+y)

2

sinhx•coshy+coshx•sinhy
=

ex-e-x

2

•

ey+e-y

2

+

ex+e-x

2

•

ey-e-y

2

=

ex+y-e-(x+y)

2

，
故本選項正確；
（3）（sinhx）²-（coshx）²
=（

ex-e-x

2

）²-（

ex+e-x

2

）²
=-1≠1，
故本選項錯誤，
則三個命題正確的是（2）．
故答案為：（2）

點評：此題考查了新定義的理解，解答此類題要切實對題中的新定義以正確的理解，這樣才能對新定義下的運算熟練運用，注意新定義下對普通運算不一定成立，比如本題（1）對于兩角和與差的余弦函數公式不成立，靈活運用題中的新定義是解本題的關鍵．