Question

設數列的各項均為正實數，，若數列滿足，，其中為正常數，且.
（1）求數列的通項公式；
（2）是否存在正整數，使得當時，恒成立？若存在，求出使結論成立的的取值范圍和相應的的最小值；若不存在，請說明理由；
（3）若，設數列對任意的，都有成立，問數列是不是等比數列？若是，請求出其通項公式；若不是，請說明理由.

Answer 1

（1）詳見解析；（2）；（3）．

解析試題分析：（1）由條件可知，數列為等差數列，又知，其通項公式易求，再根根據數列與數列的關系，可求出數列的通項公式；（2）由（1）中所求的數列的通項公式，可對進行化簡，然后再對其考察；（3）當時，結合（1）的結果，可求出，代入中，設法對其變形處理，找到的遞推關系再進行判斷.
試題解析：
（1）因為，所以，所以數列是以為公差的等差數列，又，所以，          2分
故由，得.                     4分
（2）因為，所以，
又，所以，                                  6分
（ⅰ）當時，，解得，不符合題意；   7分
（ⅱ）當時，，解得或.                8分
綜上所述，當時，存在正整數使得恒成立，且的最小值為4.
9分
（3）因為，由（1）得，
所以       ①，
則    ②，
由②①，得                 ③， 12分
所以                   ④，
再由④③，得，即，
所以當時，數列成等比數列，                          15分
又由①式，可得，，則，所以數列一定是等比數列，且.
16分
（說明：若第（3）小題學生由前幾項猜出等比數列，再代回驗證的，扣3分）
考點：等差數列、等比數列.