Question

（2013•黃岡模擬）在矩形ABCD中，|AB|=2

3

，|AD|=2，E、F、G、H分別為矩形四條邊的中點，以HF、GE所在直線分別為x，y軸建立直角坐標系（如圖所示）．若R、R′分別在線段0F、CF上，且

|OR|

|OF|

=

|CR′|

|OF|

=

1

n

．
（Ⅰ）求證：直線ER與GR′的交點P在橢圓Ω：

x2

3

+y²=1上；
（Ⅱ）若M、N為橢圓Ω上的兩點，且直線GM與直線GN的斜率之積為

2

3

，求證：直線MN過定點．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由且

|OR|

|OF|

=

|CR′|

|OF|

=

1

n

求出R和R′的坐標，求出直線GR′和直線ER的方程，聯立求出交點，把交點坐標代入橢圓方程進行驗證；
（Ⅱ）設出M，N的坐標，當直線斜率存在時，設出直線方程，和橢圓方程聯立，利用根與系數關系求出M，N兩點坐標的和與積，代入斜率公式，求得MN的斜率和截距的關系，由纖細方程證明結論，當斜率不存在時，直接求出M，N的坐標驗證．

解答：證明：（Ⅰ）如圖，
        
∵

|OR|

|OF|

=

|CR′|

|CF|

=

1

n

，∴R(

3

n

，0)，R′(

3

，

n-1

n

)，
又G（0，1），則直線GR′的方程為y=-

1

3 n

x+1       ①
又E（0，-1），則直線ER的方程為y=

n

3

x-1          ②
由①②得P(

2 3 n

n2+1

，

n2-1

n2+1

)，代入橢圓方程得：

( 2 3 n n2+1 )2

3

+(

n2-1

n2+1

)2=

4n2+(n2-1)2

(n2+1)2

=1．
∴直線ER與GR′的交點P在橢圓Ω：

x2

3

+y²=1上；
（Ⅱ）①當直線MN的斜率不存在時，設MN：x=t（-

3

＜t＜

3

），
則M(t，

1- t2 3

)，N(t，-

1- t2 3

)，∴kGM•kGN=

1

3

，不合題意．
②當直線MN的斜率存在時，設MN：y=kx+b，
 M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
  
聯立方程

y=kx+b x2 3 +y2=1

，
得（1+3k²）x²+6kbx+3b²-3=0．
則△=12（3k²-b²+1）＞0，
x1+x2=

-6kb

1+3k2

，x1x2=

3b2-3

1+3k2

，
又kGM•kGN=

y1-1

x1

•

y2-1

x2

=

k2x1x2+k(b-1)(x1+x2)+(b-1)2

x1x2

=

2

3

，
即(3k2-2)x1x2+3k(b-1)(x1+x2)+3(b-1)2=0，
將x1+x2=

-6kb

1+3k2

，x1x2=

3b2-3

1+3k2

代入上式得b=-3，
∴直線過定點T（0，-3）．

點評：本題考查了橢圓的標準方程，考查了直線和圓錐曲線的關系，訓練了兩直線交點坐標的求法，考查了由兩點求直線的斜率公式，考查了學生的計算能力，是有一定難度題目．