Question

（2012•江蘇二模）已知a為正實數，函數f(x)=

a-x

a+x

•ex（e為自然對數的底數）．
（1）若f（0）＞f（1），求a的取值范圍；
（2）當a=2時，解不等式f（x）＜1；
（3）求函數f（x）的單調區間．

Answer 1

分析：（1）根據f（0）＞f（1），可得

a-1

a+1

e＜1，利用a＞0，可求a的取值范圍；
（2）確定f（x）在（-∞，-2）及（-2，+∞）上均為減函數，從而可解不等式；
（3）求導函數，分類討論，利用導數的正負，即可得到函數的單調區間．

解答：解：（1）∵f（0）＞f（1），∴

a-1

a+1

e＜1
∵a＞0，∴a（e-1）＜e+1
∵e-1＞0，∴a＜

e+1

e-1

∵a＞0，∴0＜a＜

e+1

e-1

；
（2）當a=2時，f(x)=

2-x

2+x

•ex，定義域為{x|x≠-2}
∵f′(x)=

-x2

(2+x)2

•ex＜0
∴f（x）在（-∞，-2）及（-2，+∞）上均為減函數
∵x∈（-∞，-2），f（x）＜0，∴x∈（-∞，-2）時，f（x）＜1；x∈（-2，+∞）時，f（0）=1，∴由f（x）＜f（0）得x＞0
綜上，不等式的解集為（-∞，-2）∪（0，+∞）；
（3）當x≠-a時，f′(x)=

-x2+a2-2a

(a+x)2

•ex
令f′（x）=0，可得x²=a²-2a
①a=2時，由（2）知，函數的單調減區間為（-∞，-2），（-2，+∞）；
②0＜a＜2時，a²-2a＜0，f′（x）＜0恒成立，故函數的單調減區間為（-∞，-a），（-a，+∞）；
③a＞2時，a²-2a＞0
令f′（x）＞0，得x²＜a²-2a，∴-

a2-2a

＜x＜

a2-2a

；
令f′（x）＜0，得x²＞a²-2a，∴x＜-

a2-2a

或x＞

a2-2a

∴函數的單調增區間為(-

a2-2a

，

a2-2a

)，單調減區間為（-∞，-a），（-a，-

a2-2a

），（

a2-2a

，+∞）．

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性，考查分類討論的數學思想，屬于中檔題．