Question

（2007•汕頭二模）如圖，在邊長為10的菱形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，tan∠DAC=

3

4

．現沿對角線BD把△ABD折起，使∠ADC的余弦值為

9

25

．
（Ⅰ）求證：平面ABD⊥平面CBD；
（Ⅱ）若M是AB的中點，求AC與平面MCD所成角的一個三角函數值．

Answer 1

分析：（I）證明平面ABD⊥平面CBD，只需證明AO⊥平面BCD；
（II）建立空間直角坐標系，求出

AC

=(8，0，-8)，平面MCD的一個法向量，利用向量的夾角公式，即可得出結論．

解答：（Ⅰ）證明：菱形ABCD中，tan∠DAC=

3

4

，AD=10，
∴OA=8，OD=6                    …（1分）
翻折后變成三棱椎A-BCD，在△ACD中，

AC2=AD2+CD2-2AD•CD•cos∠ADC        =100+100-2×10×10× 9 25 =128

，…（3分）
在△AOC中，OA²+OC²=128=AC²，…（4分）
∴∠AOC=90°，即AO⊥OC，又AO⊥BD，OC∩BD=O，
∴AO⊥平面BCD，
又AO?平面ABD，
∴平面ABD⊥平面CBD．                    …（6分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知OA，OC，OD兩兩互相垂直，分別以OA，OC，OD所在直線為坐標軸建系，則A（0，0，8），B（0，-6，0），C（8，0，0）D（0，6，0）M（0，-3，4），…（7分）

MC

=(8，3，-4)，  

DC

=(8，-6，0)，

AC

=(8，0，-8)，…（8分）
設平面MCD的一個法向量為

n

=(x，y，z)，則由

n • MC =0 n • DC =0

，得

8x+3y-4z=0 8x-6y=0

，…（10分）
令y=4，有

n

=(3，4，9)，…（11分）
設AC與平面MCD所成角為θ，則cosθ=|cos＜

AC

，

n

＞|=|

24-72

106 • 128

|=

3

53

53

，…（13分）
∴AC與平面MCD所成角的余弦值為

3

53

53

，…（14分）

點評：本題考查面面垂直，考查線面角，考查學生分析解決問題的能力，考查學生的計算能力，屬于中檔題．