Question

已知橢圓C：＋＝1（a＞b＞0）的離心率為，過右焦點F的直線l與C相交于A、B兩點，當l的斜率為1時，坐標原點O到l的距離為．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）C上是否存在點P，使得當l繞F轉到某一位置時，有＝＋成立？若存在，求出所有的P的坐標與l的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）P(，±)，x±y－＝0.

解析試題分析：(Ⅰ) 先利用點到直線的距離公式求，再利用離心率求，最后利用參數的關系求；(Ⅱ)設點利用方程組消元后得根與系數關系，然后代入題中條件化簡可求.
試題解析：(Ⅰ) 設F(c，0)，當l的斜率為1時，其方程為x－y－c＝0，
∴O到l的距離為，
由已知，得＝，∴c＝1．
由e＝＝，得a＝，b＝＝．              4分
（Ⅱ）假設C上存在點P，使得當l繞F轉到某一位置時，有＝＋成立，
設A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，則P(x₁＋x₂，y₁＋y₂)．
由（Ⅰ），知C的方程為＋＝1．
由題意知，l的斜率一定不為0，故不妨設l：x＝ty＋1．
由，消去x并化簡整理，得(2t²＋3)y²＋4ty－4＝0．
由韋達定理，得y₁＋y₂＝－，
∴x₁＋x₂＝ty₁＋1＋ty₂＋1＝t(y₁＋y₂)＋2＝－＋2＝，
∴P(，－)．
∵點P在C上，∴＋＝1，
化簡整理，得4t⁴＋4t²－3＝0，即(2t²＋3)(2t²－1)＝0，解得t²＝．
當t＝時，P(，－)，l的方程為x－y－＝0；
當t＝－時，P(，)，l的方程為x＋y－＝0．
故C上存在點P(，±)，使＝＋成立，此時l的方程為x±y－＝0．   13分
考點：橢圓的基本概念，點到直線的距離，根與系數關系，設而不求的思想.