Question

為提高學生學習數學的興趣，某地區舉辦了小學生“數獨比賽”．比賽成績共有90分，70分，60分，40分，30分五種，按本次比賽成績共分五個等級．從參加比賽的學生中隨機抽取了30名學生，并把他們的比賽成績按這五個等級進行了統計，得到如下數據表：

成績等級	A	B	C	D	E
成績（分）	90	70	60	40	30
人數（名）	4	6	10	7	3

（Ⅰ）根據上面的統計數據，試估計從本地區參加“數獨比賽”的小學生中任意抽取一人，其成績等級為“A 或B”的概率；
（Ⅱ）根據（Ⅰ）的結論，若從該地區參加“數獨比賽”的小學生（參賽人數很多）中任選3人，記X表示抽到成績等級為“A或B”的學生人數，求X的分布列及其數學期望EX；
（Ⅲ）從這30名學生中，隨機選取2人，求“這兩個人的成績之差大于20分”的概率．

Answer 1

（I）根據統計數據可知，從本地區參加“數獨比賽”的30名小學生中任意抽取一人，其成績等級為“A 或B”的概率為

4

30

+

6

30

=

1

3

，
即從本地區參加“數獨比賽”的小學生中任意抽取一人，其成績等級為“A 或B”的概率為

1

3

．
（II）由題意知隨機變量X可取0，1，2，3，
∴P（X=0）=C

03

（

1

3

）⁰（

2

3

）³=

8

27

；P（X=1）=C

13

（

1

3

）¹（

2

3

）²=

4

9

；
P（X=2）=C

23

（

1

3

）²（

2

3

）=

2

9

；
P（X=3）=C

33

（

1

3

）³（

2

3

）⁰=

1

27

；
所以X的分布列為（必須寫出分布列，否則扣1分）

X	0	1	2	3
P	8 27	4 9	2 9	1 27

…（11分）
故Eξ=0×

8

27

+1×

4

9

+2×

2

9

+3×

1

27

=1，所求期望值為1．
（III）設事件M：從這30名學生中，隨機選取2人，這兩個人的成績之差大于20分．
設從這30名學生中，隨機選取2人，記兩個人的成績分別為m，n．
則基本事件的總數為

C

230

，
不妨設m＞n，
當m=90時，n=60或40或30，基本事件的數為C

14

（C

110

+C

17

+C

13

）；
當m=70時，n=40或30，基本事件的數為C

16

（C

17

+C

13

）；
當m=60時，n=30，基本事件的數為C

110

C

13

；
∴P（M）=

C 14 ( C 110 + C 17 + C 13 )+ C 16 ( C 17 + C 13 )+ C 110 C 13

C 230

=

34

87

．
∴從這30名學生中，隨機選取2人，“這兩個人的成績之差大于20分”的概率為

34

87

．