Question

對于n∈N^*（n≥2），定義一個如下數陣：Ann=

a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n … … … … an1 an2 … ann

，其中對任意的1≤i≤n，1≤j≤n，當i能整除j時，a_ij=1；當i不能整除j時，a_ij=0．設t(j)=

n

i=1

aij=a1j+a2j+…+anj．
（Ⅰ）當n=6時，試寫出數陣A₆₆并計算

6

j=1

t(j)；
（Ⅱ）若[x]表示不超過x的最大整數，求證：

n

j=1

t(j)=

n

i=1

[ 

n

i

 ]；
（Ⅲ）若f(n)=

1

n

n

j=1

t(j)，g(n)=

∫

n 1

1

x

dx，求證：g（n）-1＜f（n）＜g（n）+1．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依題意可得，A66=

1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1

． 

6

j=1

t(j)=1+2+2+3+2+4=14．
（Ⅱ）由題意可知，t（j）是數陣A_nn的第j列的和，因此

n

j=1

t(j)是數陣A_nn所有數的和．而數陣A_nn所有數的和也可以考慮按行相加．對任意的1≤i≤n，不超過n的倍數有1i，2i，…，[

n

i

]i．因此數陣A_nn的第i行中有[

n

i

]個1，其余是0，即第i行的和為[

n

i

]．從而得到結果．
（Ⅲ）由[x]的定義可知，

n

i

-1＜[

n

i

]≤

n

i

，所以

n

i=1

n

i

-n＜

n

i=1

[

n

i

]≤

n

i=1

n

i

．所以

n

i=1

1

i

-1＜f(n)≤

n

i=1

1

i

．再考查定積分

∫

n 1

1

x

dx，根據曲邊梯形的面積的計算即可證得結論．

解答：解：（Ⅰ）依題意可得，A66=

1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1

． 

6

j=1

t(j)=1+2+2+3+2+4=14．
（Ⅱ）由題意可知，t（j）是數陣A_nn的第j列的和，因此

n

j=1

t(j)是數陣A_nn所有數的和．
而數陣A_nn所有數的和也可以考慮按行相加．
對任意的1≤i≤n，不超過n的倍數有1i，2i，…，[

n

i

]i．
因此數陣A_nn的第i行中有[

n

i

]個1，其余是0，即第i行的和為[

n

i

]．
所以

n

j=1

t(j)=

n

i=1

[ 

n

i

 ]．
（Ⅲ）證明：由[x]的定義可知，

n

i

-1＜[

n

i

]≤

n

i

，
所以

n

i=1

n

i

-n＜

n

i=1

[

n

i

]≤

n

i=1

n

i

．所以

n

i=1

1

i

-1＜f(n)≤

n

i=1

1

i

．
考查定積分

∫

n 1

1

x

dx，將區間[1，n]分成n-1等分，則

∫

n 1

1

x

dx的不足近似值為

n

i=2

1

i

，

∫

n 1

1

x

dx的過剩近似值為

n-1

i=1

1

i

． 所以

n

i=2

1

i

＜

∫

n 1

1

x

dx＜

n-1

i=1

1

i

．
所以

n

i=1

1

i

-1＜g（n）＜

n

i=1

1

i

．所以g（n）-1＜

n

i=1

1

i

-1＜f(n)≤

n

i=1

1

i

＜g（n）+1．
所以g（n）-1＜f（n）＜g（n）+1．

點評：本小題主要考查高階矩陣、矩陣的應用、定積分等基礎知識，考查運算求解能力，屬于基礎題．