Question

幾何證明選講如圖，已知AD為圓O的直徑，直線BA與圓O相切于點A，直線OB與弦AC垂直并相交于點G，與弧AC相交于M，連接DC，AB=10，AC=12．
（1）求證：BA•DC=GC•AD；
（2）求BM．

Answer 1

分析：（1）根據AC⊥OB，及AD是圓O的直徑，得到Rt△AGB和Rt△DCA相似，從而得到

BA

AD

=

AG

DC

，又GC=AG，所以

BA

AD

=

GC

DC

，從而得到證明；
（2）根據直角三角形中的邊角關系求得BG，再根據直角三角形的相似及切割線定理求解即可．

解答：（1）證明：因為AC⊥OB，所以∠AGB=90°
又AD是圓O的直徑，所以∠DCA=90°
又因為∠BAG=∠ADC（弦切角等于同弧所對圓周角）（3分）
所以Rt△AGB和Rt△DCA相似
所以

BA

AD

=

AG

DC

又因為OG⊥AC，所以GC=AG
所以

BA

AD

=

GC

DC

，即BA•DC=GC•AD（5分）
（2）解：因為AC=12，所以AG=6，
因為AB=10，所以BG=

AB2-AG2

=8
由（1）知：Rt△AGB～Rt△DCA，．所以

AB

AD

=

BG

AC

（8分）
所以AD=15，即圓的直徑2r=15
又因為AB²=BM•（BM+2r），即BM²+15BM-100=0
解得BM=5（10分）．

點評：本題考查的與圓有關的比例線段、圓周角及相似三角形的判定和性質，切割線定理的運用的綜合運用．