Question

已知函數(shù)f（x）=b（x+1）lnx-x+1，斜率為l的直線與函數(shù)f（x）的圖象相切于（1，0）點．
（Ⅰ）求h（x）=f（x）-xlnx的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當實數(shù)0＜a＜1時，討論g(x)=f(x)-(a+x)lnx+

1

2

a

x

2

的極值點．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把f（x）代入h（x），對f（x）進行求導，利用導數(shù)研究h（x）的單調(diào)區(qū)間，注意函數(shù)的定義域；
（Ⅱ）已知實數(shù)0＜a＜1，對g（x）進行求導，令g′（x）=0，得出極值點，這時方程g′（x）=0的兩個根大小不一樣，需要進行討論，然后再確定極大值和極小值點；

解答：解：（Ⅰ）由題意知：f′（x）=b（lnx+

x+1

x

）-1，f′（1）=2b-1=1，b=1，
h（x）=f（x）-xlnx=lnx-x+1，h′（x）=

1

x

-1，
h′（x）=

1

x

-1＞0解得0＜x＜1；
h′（x）=

1

x

-1＜0解得x＞1；
∴h（x）=f（x）-xlnx的單調(diào)增區(qū)間（0，1）；單調(diào)減區(qū)間（1，+∞）；
（Ⅱ）實數(shù)0＜a＜1時，g(x)=f(x)-(a+x)lnx+

1

2

a

x

2

，
∴g′（x）=

1-a

x

+ax-1=

ax2-x+1-a

x

=

a[x-( 1 a -1)](x-1)

x

，
由g′（x）=0得x₁=

1

a

-1，x₂=1，
1、若0＜

1

a

-1＜1，a＞0即

1

2

＜a＜1，0＜x₁＜x₂，

x	（0，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	遞增	極大值	遞減	極小值	遞增

此時g（x）的最小值為x=1，極大值點x=

1

a

-1，
2、若

1

a

-1=1，a＞0，即a=

1

2

，x₁=x₂=1，則g′（x）≥0，g（x）在（0，+∞）上為單調(diào)增區(qū)間，無極值點，
3、若

1

a

-1＞1，a＞0即0＜a＜

1

2

，x₁＞x₂=1，

x	（0，x2）	x2	（x2，x1）	x1	（x1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	遞增	極大值	遞減	極小值	遞增

此時g（x）的極大值點為x=1，極小值點x=

1

a

-1，
綜上：當

1

2

＜a＜1時，g（x）的極值點為x=1，極大值點x=

1

a

-1；
當a=

1

2

時，g（x）無極值點為x=1，極小值點x=

1

a

-1；
當0＜a＜

1

2

時，g（x）的極大值點為x=1，極小值點x=

1

a

-1；

點評：本題主要考查導函數(shù)的正負與原函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系，即當導函數(shù)大于0時原函數(shù)單調(diào)遞增，當導函數(shù)小于0時原函數(shù)單調(diào)遞減，還考查了分類討論的思想，這是高考的熱點問題；