Question

設復數z₁=x+yi（x，y∈R，y≠0），復數z₂=cosα+isinα（α∈R），且

z

2 1

+2

.

z1

∈R，z1在復平面上所對應點在直線y=x上，求|z₁-z₂|的取值范圍．

Answer 1

分析：先根據題中的兩個條件建立方程組，解出復數z₁后，化簡|z₁-z₂|的解析式，利用正弦函數的有界性求出|z₁-z₂|的取值范圍．

解答：解：

z12+2z1∈R Z1=z1

 ?

x2-y2+2xyi+2x-2yi∈R x=y≠0

，
?

2xy-2y=0 x=y≠0

，∴x=y=1，∴z₁=1+i，
|z₁-z₂|=

(1-cosα)2+(1-sinα)2

=

3-2 2 sin(α+ π 4 )

，
∴|z₁-z₂|∈[

2

-1，

2

+1]．

點評：本題考查求復數的模的方法，復數為實數的條件，三角公式的應用及正弦函數的有界性．