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設f（x）=ex-ax-1
（1）若f（x）在[-∞，0]上單調遞減，在[0，+∞]上單調遞增，求實數a的取值范圍；
（2）設g（x）=-x2+2x-2，在（1）的條件下，求證：g（x）的圖象恒在f（x）圖象的下方．

（1）解：求導數可得f′（x）=ex-a
∵f（x）在（-∞，0]上單調遞減，在[0，+∞）上單調遞增，
∴f′（0）=e0-a=0，
∴a=1；
（2）證明：由（1）知，f（x）min=0
∵g（x）=-x2+2x-2=-（x-1）2-1，∴x=1時，g（x）max=-1
∵f（x）min＞g（x）max，
∴g（x）的圖象恒在f（x）圖象的下方．
分析：（1）利用函數的單調性，可得f′（0）=0，即可求實數a的取值范圍；
（2）只需證明f（x）min＞g（x）max，即可得到結論．
點評：本題考查函數的單調性，考查函數的最值，考查學生的計算能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

設f（x）=ex-a（x+1）．
（1）若a＞0，f（x）≥0對一切x∈R恒成立，求a的最大值；
（2）設g(x)=f(x)+
a
ex
，A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)是曲線y=g（x）上任意兩點，若對任意的a≤-1，直線AB的斜率恒大于常數m，求m的取值范圍；
（3）是否存在正整數a．使得1n+3n+…+(2n-1)n＜
e
e-1
(an)n對一切正整數n都成立？若存在，求a的最小值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設f（x）=ex-a（x+1）．
（1）若a＞0，f（x）≥0對一切x∈R恒成立，求a的最大值．
（2）設g（x）=f（x）+
a
ex
，且A（x1，y1），B（x2，y2）（x1≠x2）是曲線y=g（x）上任意兩點，若對任意的a≤-1，直線AB的斜率恒大于常數m，求m的取值范圍；
（3）求證：1n+3n+…+（2n-1）n＜
e
e-1
•(2n)n．

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科目：高中數學 來源：2012-2013學年江蘇省南京市高三（上）期中數學試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

設f（x）=ex-a（x+1）．
（1）若a＞0，f（x）≥0對一切x∈R恒成立，求a的最大值；
（2）設是曲線y=g（x）上任意兩點，若對任意的a≤-1，直線AB的斜率恒大于常數m，求m的取值范圍；
（3）是否存在正整數a．使得對一切正整數n都成立？若存在，求a的最小值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源：2013年江蘇省南通市高考學科基地數學模擬試卷（十）（解析版） 題型：解答題

設f（x）=ex-a（x+1）．
（1）若a＞0，f（x）≥0對一切x∈R恒成立，求a的最大值；
（2）設是曲線y=g（x）上任意兩點，若對任意的a≤-1，直線AB的斜率恒大于常數m，求m的取值范圍；
（3）是否存在正整數a．使得對一切正整數n都成立？若存在，求a的最小值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源：2013年江蘇省高考數學模擬試卷（十）（解析版） 題型：解答題

設f（x）=ex-a（x+1）．
（1）若a＞0，f（x）≥0對一切x∈R恒成立，求a的最大值；
（2）設是曲線y=g（x）上任意兩點，若對任意的a≤-1，直線AB的斜率恒大于常數m，求m的取值范圍；
（3）是否存在正整數a．使得對一切正整數n都成立？若存在，求a的最小值；若不存在，請說明理由．

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