Question

定義在R上的函數f(x)是最小正周期為2的奇函數, 且當x∈(0, 1)時,

f(x)= .

(Ⅰ)求f(x)在[-1, 1]上的解析式;    (Ⅱ)證明f(x)在(0, 1)上時減函數; 

(Ⅲ)當λ取何值時, 方程f(x)=λ在[-1, 1]上有解?

 

Answer 1

【答案】

（1）f(x)=.；（2）見解析；

（3）λ∈(-, -)∪｛0｝∪(, )時方程f(x)=λ在[-1, 1]上有解.

 

【解析】主要考查函數奇偶性、單調性、周期性、指數運算與指數函數的圖象和性質。

解：(Ⅰ)解:當x∈(-1, 0)時, - x∈(0, 1). ∵當x∈(0, 1)時, f(x)= .

∴f(-x)=. 又f(x)是奇函數, ∴f (-x)= - f (x)= .∴f(x)= -.

 ∵f(-0)= -f(0),  ∴f(0)= 0. 又f(x)是最小正周期為2的函數, ∴對任意的x有f(x+2)= f(x).

∴f(-1)= f(-1+2)= f(1). 另一面f(-1)=- f(1), ∴- f(1)= f(1) . ∴f(1) = f(-1)=0.  ∴f(x)在[-1, 1]上的解析式為

 f(x)=.   

(Ⅱ) 對任意的0<x₁<x₂<1,f(x₁)-f(x₂)=-=== >0,因此f(x)在(0, 1)上時減函數; 

 (Ⅲ)在[-1, 1]上使方程f(x)=λ有解的λ的取值范圍就是函數f(x)在[-1, 1]上的值域. 當x∈(-1, 0)時, 2<2^x+<, 即2<<. ∴< f(x)= <. 又f(x)是奇函數, ∴f(x)在(-1, 0)上也是減函數, ∴當x∈(-1, 0)時有-< f(x)= -< -. ∴f(x)在[-1, 1]上的值域是(-, -)∪｛0｝∪(, ). 故當

λ∈(-, -)∪｛0｝∪(, )時方程f(x)=λ在[-1, 1]上有解.