Question

（2008•襄陽模擬）設min{x₁，x₂，…，x_n}表示x₁，x₂，…，x_n中最小的一個．給出下列命題：
①min{x²，x-1}=x-1；         
 ②設a、b∈R⁺，有min{a，

b

4a2+b2

}≤

1

2

；
③設a、b∈R，a≠0，|a|≠|b|，有min{|a|-|b|，

|a2-b2|

|a|

}=|a|-|b|．
其中所有正確命題的序號有（　　）

Answer 1

分析：用差值比較法比較x²，x-1的大小可驗證①的正確性；
利用基本不等式與不等式的性質分析a≤

1

2

和a＞

1

2

時兩種情況下，

b

4a2+b2

與

1

2

的大小，來驗證②正確性；
利用不等式的性質與絕對值不等式

|a+b|

a

≥1，|a-b|≥|a|-|b|，

|a2-b2|

|a|

與|a|-|b|的大小，來驗證③的正確性．

解答：解：∵x²-（x-1）=(x-

1

2

)2+

3

4

＞0，∴min{x²，x-1}=x-1，①正確；
對②分兩種情況討論：當a≤

1

2

時，min{a，

b

4a2+b2

}≤

1

2

；

當a＞

1

2

時，∵4a²+b²≥4ab＞0，∴

b

4a2+b2

≤

1

4a

＜

1

2

，∴min{a，

b

4a2+b2

}≤

1

2

；故②正確；
對③∵

|a+b|

a

≥1，|a-b|≥||a|-|b||，∴

|a2-b2|

|a|

=

|a-b||a+b|

|a|

≥|a-b|≥|a|-|b|；∴③正確；
故選D

點評：本題考查了實數比較大小的方法，一般有一下幾種常見方法有作差法、利用函數的單調性、作商法、利用基本不等式及絕對值不等式等