Question

求函數y=log_a（x-x²）（a＞0，a≠1）的定義域、值域、單調區間．

Answer 1

分析：（1）對數的真數大于0，通過x-x²＞0求解函數的定義域．
（2）先求0＜x-x²的范圍，然后按照0＜a＜1，a＞1兩種情況求解．
（3）按照0＜a＜1，a＞1兩種情況討論，先將原函數分解為兩個基本函數，利用復合函數的單調性求解．

解答：解：（1）由x-x要使函數有意義，必須，x-x²＞0得0＜x＜1，
所以函數y=log_a（x-x²）的定義域是（0，1）（2分）
（2）因為0＜x-x²=-(x-

1

2

)2+

1

4

≤

1

4

，
所以，當0＜a＜1時，loga(x-x2)≥loga

1

4

函數y=log_a（x-x²）的值域為 [loga

1

4

，+∞)；（5分）
當a＞1時，loga(x-x2)≤loga

1

4

函數y=log_a（x-x²）的值域為 (-∞，loga

1

4

]（8分）
（3）當0＜a＜1時，函數y=log_a（x-x²）
在 (0，

1

2

]上是減函數，在 [

1

2

，1)上是增函數；（10分）
當a＞1時，函數y=log_a（x-x²）
在 (0，

1

2

]上是增函數，在 [

1

2

，1)上是減函數．（12分）

點評：本題主要考查：研究復合函數的基本思路，先定義域，再求分解為兩個基本函數，然后利用復合函數的單調性求解．注意分類討論思想的應用．