Question

已知函數f(x)=x³+x²，數列{x_n}(x_n＞0)的第一項x₁=1，以后各項按如下方式取定：曲線y=f(x)在(x_n+1,f(x_n+1))處的切線與經過(0,0)和(x_n，f(x_n))兩點的直線平行(如圖).求證：當n∈N^*時，

(1)+x_n=3+2x_n+1；

(2)()^n-1≤x_n≤()^n-2.

Answer 1

證明：(1)∵f′(x)=3x²+2x,

∴曲線y=f(x)在(x_n+1,f(x_n+1))處的切線斜率k_n+1=3+2x_n+1.

∵過(0,0)和(x_n,f(x_n))兩點的直線斜率是+x_n.

    所以+x_n=3+2x_n+1.

(2)因為函數h(x)=x²+x當x＞0時單調遞增.

    而+x_n=3+2x_n+1≤4+2x_n-1=(2x_n-1)²+2x_n+1.

∴x≤2x_n+1，即≥.

    因此x_n=··…·≥()^n-1.

    又+x_n≥2(+x_n+1),

    令y_n=+x_n,

    則≤.

∵y₁=x²₁+x₁=2,∴y_n≤()^n-1·y₁=()^n-2.

    因此x_n≤+x_n≤()^n-2.

    故()^n-1≤x_n≤()^n-2.