Question

已知數列{a_n}滿足a₁+a₂+…+a_n=n²（n∈N*），
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）對任意給定的k∈N*，是否存在p，r∈N*（k＜p＜r），使成等差數列？若存在，用k分別表示p和r（只要寫出一組）；若不存在，請說明理由；
（Ⅲ）證明：存在無窮多個三邊成等比數列且互不相似的三角形，其邊長為。

Answer 1

解：（Ⅰ）當n=1時，a₁=1；
當n≥2，n∈N*時，a₁+a₂+…+a_n-1=（n-1）²，
所以a_n=n²-（n-1）²=2n-1；
綜上所述，a_n=2n-1（n∈N*）。
（Ⅱ）當k=1時，若存在p，r使成等差數列，
則，
因為p≥2，所以a_r＜0，與數列{a_n}為正數相矛盾，
因此，當k=1時不存在；
當k≥2時，設a_k=x，a_p=y，a_r=z，則，
所以，
令y=2x-1，得z=xy=x（2x-1），
此時a_k=x=2k-1，a_p=y=2x-1=2（2k-1）-1，
所以p=2k-1，a_r=z=（2k-1）（4k-3）=2（4k²-5k+2）-1，
所以r=4k²-5k+2；
綜上所述，當k=1時，不存在p，r；
當k≥2時，存在p=2k-1，r=4k²-5k+2滿足題設；
（Ⅲ）作如下構造：，其中k∈N*，
它們依次為數列{a_n}中的第2k²+6k+5項，第2k²+8k+8項，第2k²+10k+13項，
顯然它們成等比數列，且，
所以它們能組成三角形，
由k∈N*的任意性，這樣的三角形有無窮多個。
下面用反證法證明其中任意兩個三角形A₁B₁C₁和A₂B₂C₂（k₁≠k₂）不相似；
若三角形A₁B₁C₁和A₂B₂C₂相似，
則，
整理得，所以k₁=k₂，
這與條件k₁≠k₂相矛盾，
因此，任意兩個三角形不相似；
故命題成立。