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已知空間三點A（0，2，3），B（-2，1，6），C（1，-1，5）．
（1）求
AB
 與
AC
的夾角及|
AB
|．
（2）求三角形ABC的面積．
分析：（1）根據點A、B、C的坐標算出向量
AB
、
AC
的坐標，由向量模的公式加以計算，可得
|AB|
=
|AC|
=
14
，再利用空間向量的夾角公式，算出
AB
與
AC
的夾角余弦等于
1
2
，從而得到
AB
與
AC
的夾角為
π
3
；
（2）利用三角形的面積公式，代入（1）中算出的
|AB|
、
|AC|
與∠BAC的大小，即可算出△ABC的面積．
解答：解：（1）∵A（0，2，3），B（-2，1，6），C（1，-1，5），
∴
AB
=
OB
-
OA
=（-2，-1，3），
AC
=
OC
-
OA
=（1，-3，2），
由此可得
|AB|
=
(-2)2+(-1)2+32
=
14
，
|AC|
=
12+(-3)2+22
=
14
．
設
AB
與
AC
的夾角為θ，則cosθ=
AB
•
AC
|
AB
||
AC
|
=
-2+3+6
14
×
14
=
1
2
，
又∵θ∈[0，π]，
∴θ=
π
3
，即
AB
與
AC
的夾角為
π
3
；
（2）∵
|AB|
=
|AC|
=
14
，
AB
與
AC
的夾角為
π
3
，即∠BAC=
π
3
，
∴△ABC的面積S=
1
2
|AB|
•
|AC|
•sin∠BAC=
1
2
×
14
×
14
×
3
2
=
7
3
2
．
點評：本題給出空間點A、B、C的坐標，求
AB
與
AC
的夾角大小與三角形ABC的面積．著重考查了空間向量的坐標運算、向量的數量積公式及其運算性質、三角形的面積公式等知識，屬于中檔題．
練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

已知空間三點A（0，2，3），B（-2，1，6），C（1，-1，5）．
（Ⅰ）求以AB、AC為邊的平行四邊形的面積；
（Ⅱ）若向量
a
分別與
AB
、
AC
垂直，且|a|=
3
，求
a
的坐標．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知空間三點A（0，2，3），B（-2，1，6），C（1，-1，5）
求：（1）求以向量
AB
，
AC
為一組鄰邊的平行四邊形的面積S；
（2）若向量a分別與向量
AB
，
AC
垂直，且|a|=
3
，求向量a的坐標．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知空間三點A（0，2，3），B（-2，1，6），C（1，-1，5），則以AB，AC為邊的平行四邊形的面積是
7
3
7
3
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知空間三點A（0，2，3），B（-2，1，6），C（1，-1，5），
a
=(x，y，1)，若向量
a
分別與
AB
，
AC
垂直則向量
a
的坐標為
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知空間三點A（0，0，2），B（0，2，2），C（2，0，2），求平面ABC的一個法向量．

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