Question

（本題滿分14分）
已知函數，是方程f(x)=0的兩個根，是f(x)的導數.
設，（n=1,2,……）
（1）求的值；
（2）證明：對任意的正整數n，都有>a；
（3）記（n=1,2,……），求數列{b_n}的前n項和S_n。

Answer 1

略

(1)解方程x²+x-1=0得x=
由?知?=,β=     
(2) f’ (x)=2x+1
    ="    " -                ="            "
下面我們用數學歸納法來證明該結論成立
①當n=1時，a₁=1<=?成立，
②假設n=k(k≥1, k∈N*)時，結論也成立，即a_k<成立，
③那么當n=k+1時，
==-+<-+=+=
這就是說，當n=k+1時，結論也成立，故對于任意的正整數n，都有a_n<
(3)
="            " ="                      " =
=()²
由題意知a_n>,那么有a_n>β，于是對上式兩邊取對數得
ln=ln()²="2" ln()
即數列{b_n}為首項為b₁= ln()="2ln(      " )，公比為2的等比數列。
故其前n項和
 
S_n="2ln(      " )     ="2ln(      " )(2ⁿ -1).