Question

已知函數f（x）=log₂（x²+1）（x≥0），g(x)=

x-a

 ， ( a∈R )．
（1）試求函數f（x）的反函數f^-1（x）；
（2）函數h（x）=f^-1（x）+g（x），求h（x）的定義域，并判斷函數h（x）的增減性；
（3）（理）若（2）中函數h（x），有h（x）≥2在定義域內恒成立，求a的范圍．
（文）若（2）中函數h（x）的最小值為3，試求a的值．

Answer 1

分析：（1）令y=f（x）=log₂（x²+1）（x≥0），求出函數的值域，然后將x用y表示，再進行互換，根據原函數的值域即為反函數的定義域，從而求出所求；
（2）h(x)=f-1(x)+g(x)=

2x-1

  +

x-a

，討論 a的正負，從而求出函數的值域，最后根據兩增函數相加還是增函數可得函數的單調性；
（3）（理）討論a的正負，分別求出函數h（x）的最小值，使最小值大于等于2，即可求出a的取值范圍；
（文）討論a的正負，分別求出函數h（x）的最小值使得最小值等于3，解方程即可．

解答：解：（1）令y=f（x）=log₂（x²+1）（x≥0），
∴x²+1=2^y即x=

2y-1

（y≥0）
∴f-1(x)=

2x-1

 (x≥0)．
（2）h(x)=f-1(x)+g(x)=

2x-1

  +

x-a

，a＜0時，定義域為[0，+∞）；a≥0時，定義域為[a，+∞）；
此函數在定義域內單調遞增（∵f^-1（x）與g（x）在公共定義域內均為增函數，∴它們的和也為增函數）．
（3）（理）當a≥0時，由h(x)min=h(a)=

2a-1

≥2⇒a≥log₂5．
當a＜0時，由h(x)min=h(0)=

-a

≥2⇒a≤-4．∴a的取值范圍是（-∞，-4]∪[log₂5，+∞）．
（文）當a≥0時，由h(x)min=h(a)=

2a-1

=3⇒log210；
當a＜0時，由h(x)min=h(0)=

-a

=3⇒a=-9．∴所求的a的值為a=log₂10或a=-9．

點評：本題主要考查了反函數，以及原函數與反函數的關系，同時考查了函數的定義域和單調性和恒成立問題，是一道綜合題．