Question

16.如圖，正三棱錐S－ABC中，底面的邊長是3，棱錐的側面積等于底面積的2倍，M是BC的中點.求

（Ⅰ）的值；

（Ⅱ）二面角S－BC－A的大小；

（Ⅲ）正三棱錐S－ABC的體積.

Answer 1

16.本小題主要考查直線與平面的位置關系等基本知識，考查空間想象能力，邏輯思維能力和運算能力.

解：（Ⅰ）∵SB=SC，AB=AC，

M為BC的中點，

∴SM⊥BC，AM⊥BC.

由棱錐的側面積等于底面積的2倍，即

3×BC×SM＝2×BC×AM，

得＝.

（Ⅱ）作正三棱錐的高SG，則G為正三角形ABC的中心，G在AM上，GM＝AM.

∵SM⊥BC，AM⊥BC，

∴∠SMA是二面角S－BC－A的平面角.

在Rt△SGM中，

∵SM＝AM＝×3GM＝2GM，

∴∠SMA＝∠SMG＝60°，

即二面角S－BC－A的大小為60°.

（Ⅲ）∵△ABC的邊長是3，

∴AM＝，GM＝，SG＝GMtan60°＝·＝，

∴V_S－ABC＝S_△ABC·SG＝··＝.