Question

定義x₁，x₂，…，x_n的“倒平均數”為 （n∈N*）．
（1）若數列{a_n}前n項的“倒平均數”為 ，求{a_n}的通項公式；
（2）設數列{b_n}滿足：當n為奇數時，b_n=1，當n為偶數時，b_n=2．若T_n為{b_n}前n項的倒平均數，求 ；
（3）設函數f（x）=﹣x²+4x，對（1）中的數列{a_n}，是否存在實數λ，使得當x≤λ時，f（x）≤ 對任意n∈N*恒成立？若存在，求出最大的實數λ；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）設數列{a_n}的前n項和為S_n，
由題意， ，
所以 ．  
所以a₁=S₁=6，
當n≥2時，a_n=S_n﹣S_n﹣1=4n+2，而a₁也滿足此式．
所以{a_n}的通項公式為a_n=4n+2．
（2）設數列{b_n}的前n項和為S_n，
則當n為偶數時， ，
當n為奇數時， ．  
所以 ．   
所以  ． 
（3）假設存在實數λ，使得當x≤λ時，f（x） 對任意n∈N*恒成立，
則﹣x²+4x≤ 對任意n∈N*恒成立，
令 ，因為 ，
所以數列{c_n}是遞增數列，
所以只要﹣x²+4x≤c₁，即x²﹣4x+3≥0，解得x≤1或x≥3．
所以存在最大的實數λ=1，
使得當x≤λ時，f（x） 對任意n∈N*恒成立．