Question

已知F是橢圓5x²+9y²=45的右焦點，P為該橢圓上的動點，A（2，1）是一定點．
（1）求|PA|+

3

2

|PF|的最小值，并求相應點P的坐標；
（2）求|PA|+|PF|的最大值與最小值；
（3）過點F作傾斜角為60°的直線交橢圓于M、N兩點，求|MN|；
（4）求過點A且以A為中點的弦所在的直線方程．

Answer 1

（1）由題意可得：e=

2

3

所以 |PA|+

3

2

|PF|=|PA|+

1

e

|PF|，
∴根據橢圓的第二定義：過A作右準線的垂線，交與B點，則|PA|+

3

2

|PF2|的最小值為|AB|，
∵|AB|=

5

2

∴，|PA|+

3

2

|PF|的最小值

5

2

，并且P（

6 5

5

，1）．
（2）根據橢圓的第一定義：|PA|+|PF₁|=2a+|PA|-|PF₂|
如圖所示：因為||PA|-|PF₂||≤|AF₂|=1⇒-1≤|PA|-|PF₂|≤1，
所以5＜6+|PA|-|PF₂|＜7，即5＜|PA|+|PF₁|＜7，
所以PA|+|PF|的最大值與最小值分別為5，7．
（3）由題意可得：直線方程為

3

x-y-2

3

=0，
聯立直線與橢圓的方程可得：32x²-108x+63=0，
所以x₁+x₂=

27

8

，x₁•x₂=

63

32

，
由弦長公式可得：|MN|=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=

15

4

．
（4）由題意得，斜率存在，設為 k，則直線l的方程為 y-1=k（x-2），
代入橢圓的方程化簡得：（5+9k²）x²+18k（1-2k）x+9（1-2k）²-45=0，
因為A為弦的中點，
所以x₁+x₂=4，即

18k(2k-1)

5+9k2

=4，解得k=-

10

9

，
所以以A為中點的弦所在的直線方程為10x+9y-29=0．